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Puede contener errores teóricos, ejemplos incompletos o explicaciones que todavía estamos puliendo. Úsala como referencia inicial, pero verifica los resultados importantes con tu profesor o con fuentes adicionales.

1. Lineas notables del triangulo2. Circuncentro

Lineas notables

Circuncentro

El punto donde las mediatrices se cruzan es equidistante de los tres vertices. Ese radio comun es el radio de la circunferencia circunscrita.

Familia

Mediatrices

Propiedades

Demostraciones

Como mirar este nodo

Cuando veas igualdad de distancias a los vertices, o el radio de la circunferencia circunscrita, el circuncentro ya esta en juego.

Prototipo vivo

Si quieres juzgar la direccion mas visual de esta seccion, aqui hay un experimento aislado: plano de fondo, figura draggable y tarjetas de propiedades al costado.

Abrir prototipo interactivo

Figura base

Diagrama para leer antes que calcular

Por ahora este primer bloque entra con diagramas propios y navegacion viva. La siguiente capa natural sera volverlo manipulable.

mediatricescircuncentro Ocircuncirculo

Que conviene notar

$O$ esta a la misma distancia de los tres vertices: $OA = OB = OC = R$ .
En un triangulo acutangulo, $O$ es interior. En uno rectangulo cae sobre la hipotenusa. En uno obtusangulo queda fuera.
El teorema de la cuerda nos da $a = 2R\sin A$ , $b = 2R\sin B$ , $c = 2R\sin C$ (ley de senos).
La recta de Euler conecta $O$ con el baricentro $G$ y el ortocentro $H$ .

Lectura central

Que esta pasando en esta configuracion

La idea no es coleccionar nombres. Lo importante es entender que tipo de fuerza geometrica aparece cuando esta figura entra al problema.

El circuncentro $O$ es la interseccion de las tres mediatrices del triangulo. Cada mediatriz es perpendicular a un lado en su punto medio, y su lectura natural es la igualdad de distancias: cualquier punto sobre la mediatriz de $AB$ esta a la misma distancia de $A$ y de $B$ .

Como $O$ esta sobre las tres mediatrices a la vez, queda equidistante de $A$ , $B$ y $C$ . Esa distancia comun es el radio $R$ de la circunferencia circunscrita, el circulo que pasa exactamente por los tres vertices.

Propiedades

Hechos que conviene tener listos

Estas son las lecturas que deberian encenderse apenas reconoces la configuracion.

Equidistancia a los vertices

El circuncentro $O$ satisface $OA = OB = OC = R$ . Esta propiedad se usa para fabricar isosceles rapidamente: si $OA = OB$ , entonces el triangulo $OAB$ es isosceles.

Radio de la circunferencia circunscrita

La distancia $R = OA$ es el radio de la unica circunferencia que pasa por los tres vertices. Por el teorema del seno, $R = a / (2\sin A) = b / (2\sin B) = c / (2\sin C)$ .

Posicion segun el tipo de triangulo

En un triangulo acutangulo $O$ es interior. En uno rectangulo cae en el punto medio de la hipotenusa. En uno obtusangulo se sale fuera del triangulo.

Angulo central y angulo inscrito

El angulo central $\angle BOC = 2\angle A$ porque subtiende el mismo arco $BC$ que el angulo inscrito $\angle A$ . Esta relacion conecta $O$ con el sistema de angulos inscritos.

Demostraciones

Por que estas propiedades son razonables

Cada prueba esta pensada como escalera corta: primero el gesto visual, luego la cadena de ideas.

Demostracion guiada

Las tres mediatrices se cortan en un mismo punto

Ver por que las mediatrices de los tres lados son concurrentes.

1Sea $O$ la interseccion de las mediatrices de $AB$ y $BC$ . Como $O$ esta en la mediatriz de $AB$ , tiene $OA = OB$ .
2Como $O$ esta en la mediatriz de $BC$ , tiene $OB = OC$ .
3Juntando: $OA = OC$ , luego $O$ tambien esta en la mediatriz de $AC$ .
4Por tanto las tres mediatrices pasan por $O$ .

Demostracion guiada

Por que el angulo central duplica al inscrito

Demostrar que $\angle BOC = 2\angle A$ cuando $A$ es un angulo inscrito que subtiende el arco $BC$ .

1Como $OA = OB = OC = R$ , los triangulos $OAB$ y $OAC$ son isosceles.
2En el triangulo $OAB$ : $\angle OAB = \angle OBA$ . Llama $\alpha$ a ese angulo. Entonces $\angle AOB = 180^\circ - 2\alpha$ .
3De forma analoga en $OAC$ : $\angle OAC = \angle OCA = \beta$ y $\angle AOC = 180^\circ - 2\beta$ .
4El angulo inscrito $\angle A = \angle BAC = \alpha + \beta$ .
5El angulo central $\angle BOC = 360^\circ - \angle AOB - \angle AOC = 360^\circ - (180^\circ - 2\alpha) - (180^\circ - 2\beta) = 2(\alpha + \beta) = 2\angle A$ .

Ejemplos

Como empieza a usarse en problemas

No son ejercicios largos. Son escenas cortas para que la configuracion empiece a sentirse util y no solo bonita.

Ejemplo guiado

Encontrar R cuando la hipotenusa es diametro

En un triangulo rectangulo en $C$ con hipotenusa $AB = 10$ . Donde esta el circuncentro y cuanto vale $R$ ?

1. En un triangulo rectangulo el angulo en

C

es recto.

2. El angulo recto inscrito subtiende un diametro (por el teorema del angulo en la semicircunferencia).

3. Entonces

AB

es diametro de la circunferencia circunscrita. El circuncentro

O

es el punto medio de

AB

4. Por tanto

R = AB/2 = 5

Lo que conviene guardarse

En un triangulo rectangulo el circuncentro siempre cae en el punto medio de la hipotenusa y el radio es la mitad de ella.

Ejemplo guiado

Fabricar isosceles desde la equidistancia

En un triangulo $ABC$ con circuncentro $O$ , que tipo de triangulo es $OBC$ ?

1. Por definicion

OB = OC = R

2. El triangulo

OBC

tiene dos lados iguales, luego es isosceles.

3. El angulo en el vertice es

\angle BOC = 2\angle A

(angulo central vs inscrito).

Lo que conviene guardarse

El circuncentro fabrica tres triangulos isosceles de inmediato: $OAB$ , $OBC$ , $OCA$ . Eso es util para perseguir angulos base.

Ramas

Por donde se sigue desde aqui

La idea del atlas es esta: cada nodo te deja mejor parado para abrir el siguiente, no para volver a empezar desde cero.

Ramas disponibles

Recta de Euler

El circuncentro, el baricentro y el ortocentro son colineales. La recta que los une tiene propiedades metricas elegantes.

Cuadrilatero ciclico

El circuncentro de un triangulo es la puerta natural a preguntas sobre cuadrilateros inscritos y potencia de un punto.

Lo que sigue despues

Esta rama todavia no tiene derivaciones anunciadas.

Mismo racimo

Lineas notables del triangulo

Una forma ordenada de entrar a centros y configuraciones geometricas sin mirar el triangulo como si siempre empezara desde cero.

Baricentro

El punto donde se cruzan las tres medianas divide cada una en razon 2:1. Es el centro de masa del triangulo y el puente natural hacia areas y puntos medios.

Ortocentro

El punto donde las alturas se encuentran no cierra el dibujo: lo abre. Desde ahi aparecen angulos, cuadrilateros ciclicos y el triangulo ortico.

Recta de Euler

El ortocentro $H$ , el baricentro $G$ y el circuncentro $O$ son siempre colineales. El baricentro divide el segmento $HO$ en razon $2:1$ desde $H$ .