Contenido en revisión

Esta página aún no ha sido revisada ni validada por el equipo de AlemMath.

Puede contener errores teóricos, ejemplos incompletos o explicaciones que todavía estamos puliendo. Úsala como referencia inicial, pero verifica los resultados importantes con tu profesor o con fuentes adicionales.

1. Cuadrilatero ciclico

Circunferencias

Cuadrilatero ciclico

Cuatro puntos sobre una misma circunferencia conectan angulos opuestos, igualan angulos inscritos que miran la misma cuerda y abren la puerta a potencia de un punto.

Familia

Angulos y arcos

Propiedades

Demostraciones

Como mirar este nodo

Cuando veas cuatro puntos, pregunta si pueden estar en una circunferencia comun. La suma de opuestos en $180^\circ$ o dos angulos iguales mirando la misma cuerda son las senales.

Teoria de apoyo

La biblioteca tiene un tema dedicado a la teoria detras de esta configuracion.

Leer Potencia de un punto

Figura base

Diagrama para leer antes que calcular

Por ahora este primer bloque entra con diagramas propios y navegacion viva. La siguiente capa natural sera volverlo manipulable.

cuadrilatero ciclicoopuestos 180°circuncirculo

Que conviene notar

En un cuadrilatero ciclico $PQRS$ , los angulos opuestos suman $\angle P + \angle R = 180^\circ$ y $\angle Q + \angle S = 180^\circ$ .
Dos angulos inscritos que subtienden la misma cuerda desde el mismo lado son iguales.
Para demostrar que cuatro puntos son ciclicos basta encontrar dos angulos opuestos que sumen $180^\circ$ , o dos angulos iguales sobre la misma cuerda.
El producto de diagonales de un cuadrilatero ciclico satisface el teorema de Ptolomeo: $AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC$ .

Lectura central

Que esta pasando en esta configuracion

La idea no es coleccionar nombres. Lo importante es entender que tipo de fuerza geometrica aparece cuando esta figura entra al problema.

Un cuadrilatero ciclico es aquel cuyos cuatro vertices pertenecen a una misma circunferencia. Esta condicion, que parece solo geometrica, tiene consecuencias algebraicas inmediatas: los angulos opuestos suman $180^\circ$ y los angulos inscritos que subtienden la misma cuerda son iguales.

En geometria olimpica el cuadrilatero ciclico aparece constantemente. A veces esta dado de forma explicita. Otras veces hay que detectarlo: si encuentras dos angulos que suman $180^\circ$ en posicion opuesta, o dos angulos iguales mirando el mismo segmento desde el mismo lado, ya tienes cuatro puntos ciclicos.

Propiedades

Hechos que conviene tener listos

Estas son las lecturas que deberian encenderse apenas reconoces la configuracion.

Angulos opuestos suplementarios

En cualquier cuadrilatero ciclico $PQRS$ , se cumple $\angle P + \angle R = 180^\circ$ y $\angle Q + \angle S = 180^\circ$ . Esta es la propiedad mas util para detectar cuadrilateros ciclicos en problemas.

Angulos inscritos iguales sobre la misma cuerda

Si $\angle PAQ = \angle PBQ$ y $A$ , $B$ estan del mismo lado de $PQ$ , entonces $P$ , $A$ , $Q$ , $B$ son ciclicos. Esta es la forma mas frecuente de probar que cuatro puntos pertenecen a un circulo.

Teorema de Ptolomeo

En un cuadrilatero ciclico $ABCD$ con diagonales $AC$ y $BD$ , se cumple $AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC$ . La desigualdad inversa caracteriza cuadrilateros no ciclicos.

Angulo entre tangente y cuerda

El angulo entre una tangente a la circunferencia en el punto $P$ y una cuerda $PQ$ es igual al angulo inscrito $\angle PRQ$ , donde $R$ es cualquier punto de la circunferencia en el arco opuesto a $PQ$ .

Demostraciones

Por que estas propiedades son razonables

Cada prueba esta pensada como escalera corta: primero el gesto visual, luego la cadena de ideas.

Demostracion guiada

Por que los angulos opuestos suman $180^\circ$

Deducir la propiedad fundamental del cuadrilatero ciclico a partir del angulo inscrito.

1Sea $PQRS$ un cuadrilatero inscrito en una circunferencia con centro $O$ .
2El angulo $\angle P$ es un angulo inscrito que subtiende el arco $QRS$ (el arco que no contiene a $P$ ). Entonces $\angle P = \frac{1}{2} \cdot \text{arco}(QRS)$ .
3De forma analoga, $\angle R = \frac{1}{2} \cdot \text{arco}(QPS)$ .
4Los arcos $QRS$ y $QPS$ juntos forman la circunferencia completa: $\text{arco}(QRS) + \text{arco}(QPS) = 360^\circ$ .
5Sumando: $\angle P + \angle R = \frac{1}{2}(\text{arco}(QRS) + \text{arco}(QPS)) = \frac{1}{2} \cdot 360^\circ = 180^\circ$ .

Demostracion guiada

Cuatro puntos ciclicos cuando dos angulos sobre la misma cuerda son iguales

Usar la condicion de angulos iguales para demostrar que cuatro puntos estan en una circunferencia.

1Supon que $\angle PAQ = \angle PBQ$ con $A$ y $B$ del mismo lado de la recta $PQ$ .
2Traza la circunferencia que pasa por $P$ , $A$ y $Q$ . Llamala $\omega$ .
3El angulo inscrito desde $B$ mirando la cuerda $PQ$ seria $\angle PBQ$ . Si $B$ no estuviera en $\omega$ , el angulo seria diferente de $\angle PAQ$ .
4Como los angulos son iguales, $B$ debe estar sobre $\omega$ . Por tanto $P$ , $A$ , $Q$ , $B$ son ciclicos.

Ejemplos

Como empieza a usarse en problemas

No son ejercicios largos. Son escenas cortas para que la configuracion empiece a sentirse util y no solo bonita.

Ejemplo guiado

Detectar el cuadrilatero ciclico oculto

En un triangulo $ABC$ , sea $H$ el ortocentro y $D$ el pie de la altura desde $A$ . Demuestra que $B$ , $D$ , $H$ , $F$ son ciclicos, donde $F$ es el pie de la altura desde $C$ .

1. Necesitamos verificar que los angulos opuestos suman

180^\circ

2. El angulo

\angle BDH = 90^\circ

porque

AD

es altura y

D

esta sobre

BC

3. El angulo

\angle BFH = 90^\circ

porque

CF

es altura y

F

esta sobre

AB

4. Dos angulos opuestos suman

90^\circ + 90^\circ = 180^\circ

. Por tanto

B

D

H

F

son ciclicos.

Lo que conviene guardarse

Los cuadrilateros ciclicos mas frecuentes en olimpiadas tienen dos angulos rectos opuestos. Buscarlos es la primera lectura del dibujo.

Ejemplo guiado

Usar Ptolomeo en un caso concreto

En un cuadrilatero ciclico $ABCD$ donde $AB = 3$ , $BC = 4$ , $CD = 5$ , $DA = 6$ y $AC = 7$ . Calcula $BD$ .

1. Aplica el teorema de Ptolomeo:

AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC

2. Sustituye:

7 \cdot BD = 3 \cdot 5 + 6 \cdot 4 = 15 + 24 = 39

3. Entonces

BD = 39/7

Lo que conviene guardarse

Ptolomeo convierte relaciones entre lados y diagonales de cuadrilateros ciclicos en una ecuacion directa, sin trigonometria.

Ramas

Por donde se sigue desde aqui

La idea del atlas es esta: cada nodo te deja mejor parado para abrir el siguiente, no para volver a empezar desde cero.

Ramas disponibles

Potencia de un punto

La siguiente rama natural: cuando las diagonales o lados del cuadrilatero se extienden, aparece la potencia.

Lo que sigue despues

Angulo entre tangente y cuerda

Un caso especial del angulo inscrito que aparece cuando una recta toca la circunferencia en un solo punto.

Mismo racimo

Ortocentro

El punto donde las alturas se encuentran no cierra el dibujo: lo abre. Desde ahi aparecen angulos, cuadrilateros ciclicos y el triangulo ortico.

Triangulo ortico

Al unir los pies de las alturas aparece una figura nueva que concentra el comportamiento angular del triangulo original y deja listas varias ramas ciclicas.

Temas de apoyo en la biblioteca

Geometria

GEO