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GeometriaIntermedioTeoriaProblemasTecnicas

Potencia de un punto

Herramienta clave de geometria olimpica para relacionar segmentos cuando aparece una circunferencia.

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Brujula de estudio

Tres maneras utiles de abrir este tema

Una igualdad poderosa para secantes, tangentes y cuerdas.

Entrada~10 min

Ubicate sin abrir todo

Sirve cuando vienes con poco tiempo o solo quieres recordar la idea dominante antes de pasar a otra lectura.

Revisar base minimaIrVer mapa del temaIrAbrir lectura principalIr
Principal~5 min

Haz una vuelta completa

Lectura base, un recurso central y una practica corta suelen bastar para que el tema ya empiece a quedarse.

Leer con calmaIrCerrar con errores claveIr
Cierre~10 min

Comprueba si ya te sirve

Util antes de clase, despues de entrenar o cuando quieras confirmar que no te llevas una confusion escondida.

Mirar errores frecuentesIrElegir siguiente pasoIr

Ruta sugerida

Como conviene estudiar este tema

No hace falta abrir todo. Empieza por la lectura base, usa un recurso principal para mover la idea y deja lo complementario para cuando de verdad te aporte.

Paso 1Base

Empieza por la lectura base

Aqui construyes el mapa del tema: como reconocer la estructura, que tecnica conviene y donde suelen aparecer los errores.

Antes de abrir este tema

Si alguno de estos temas te falta, te conviene repasarlo primero para que la lectura fluya mejor.

GEOAngulos y triangulosGEOSemejanza de triángulos

Lectura principal

Teoria y desarrollo

Recorrido sugerido

Si te pierdes, usa este mapa

No hace falta leer todo de un tiron. Puedes avanzar por bloques: entender la idea, fijar algunas reglas, comprobar si las distingues bien y luego practicar.

1Lectura

Idea central

2Lectura

Caso de dos secantes

3Lectura

Caso tangente-secante

4Lectura

Senales de uso

Idea central

Definicion

Potencia de un punto

La potencia de un punto respecto de una circunferencia mide una cantidad invariante asociada a las secantes o tangentes que pasan por ese punto.

Caso de dos secantes

Si desde un punto PP salen dos secantes que cortan la circunferencia en A,BA,B y C,DC,D, entonces:

PA⋅PB=PC⋅PDPA \cdot PB = PC \cdot PD

Ejemplo 1

Si PA=3PA=3, PB=12PB=12 y PC=4PC=4, entonces:

3⋅12=4⋅PD  ⟹  PD=93 \cdot 12 = 4 \cdot PD \implies PD = 9

Caso tangente-secante

Si desde PP trazas una tangente PTPT y una secante que corta en AA y BB, entonces:

PT2=PA⋅PBPT^2 = PA \cdot PB
Tip:

Muchas veces la potencia de un punto aparece escondida dentro de una semejanza de triangulos. Si ves una tangente y una cuerda, sospecha de inmediato.

Senales de uso

  • circunferencias con secantes desde un punto exterior,
  • una tangente y una secante,
  • productos de segmentos que parecen simetricos.

Ejercicio

Nivel 2/5

Desde un punto exterior se trazan dos secantes con PA=2PA=2, PB=10PB=10, PC=4PC=4. Halla PDPD.

Ejercicio

Nivel 3/5

Desde un punto exterior, una tangente mide 66 y una secante tiene segmento exterior 33. Halla la longitud total de la secante.

Errores que conviene vigilar

  • Multiplicar segmentos que no pertenecen a la misma configuracion.
  • Olvidar que la tangente cuenta como caso especial de secante.

Si quieres seguir leyendo

Estos temas encajan bien como siguiente paso natural despues de este tema.

GEOCeva y Menelao