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Puede contener errores teóricos, ejemplos incompletos o explicaciones que todavía estamos puliendo. Úsala como referencia inicial, pero verifica los resultados importantes con tu profesor o con fuentes adicionales.

1. Lineas notables del triangulo2. Circuncentro3. Recta de Euler

Circuncentro

Recta de Euler

El ortocentro $H$, el baricentro $G$ y el circuncentro $O$ son siempre colineales. El baricentro divide el segmento $HO$ en razon $2:1$ desde $H$.

Familia

Colinealidad clasica

Propiedades

Demostraciones

Como mirar este nodo

Si el problema tiene dos o tres centros notables, pregunta si la recta de Euler es relevante antes de buscar coordenadas.

Figura base

Diagrama para leer antes que calcular

Por ahora este primer bloque entra con diagramas propios y navegacion viva. La siguiente capa natural sera volverlo manipulable.

ortocentro Hbaricentro Gcircuncentro O

Que conviene notar

$H$ , $G$ , $O$ son colineales para cualquier triangulo no equilatero.
$G$ divide $HO$ en razon $HG:GO = 2:1$ .
El centro del circulo de los nueve puntos esta en el punto medio de $HO$ .
En un triangulo equilatero, $H$ , $G$ y $O$ coinciden en el mismo punto.

Lectura central

Que esta pasando en esta configuracion

La idea no es coleccionar nombres. Lo importante es entender que tipo de fuerza geometrica aparece cuando esta figura entra al problema.

La recta de Euler es uno de los resultados mas elegantes de la geometria elemental. Para cualquier triangulo no equilatero, el ortocentro $H$ , el baricentro $G$ y el circuncentro $O$ son colineales, y la distancia entre ellos satisface $HG = 2 \cdot GO$ .

Esto significa que $G$ divide el segmento $HO$ en razon $2:1$ desde $H$ . La recta de Euler tambien pasa por el centro del circulo de los nueve puntos, a la mitad entre $H$ y $O$ .

Propiedades

Hechos que conviene tener listos

Estas son las lecturas que deberian encenderse apenas reconoces la configuracion.

Colinealidad de H, G, O

Para cualquier triangulo no equilatero, el ortocentro $H$ , el baricentro $G$ y el circuncentro $O$ estan sobre una misma recta: la recta de Euler.

Razon 2:1 en el segmento HO

El baricentro $G$ divide el segmento $HO$ tal que $HG = 2 \cdot GO$ . En coordenadas: si $O$ y $H$ son conocidos, entonces $G = O + \frac{1}{3}(H - O) = \frac{2O + H}{3}$ .

Circulo de los nueve puntos

El centro $N_9$ del circulo de los nueve puntos se ubica en el punto medio de $HO$ , es decir, en la recta de Euler entre $G$ y $O$ . Su radio es $R/2$ donde $R$ es el circunradio.

Triangulo equilatero: degeneracion

En el unico caso donde $H = G = O$ , el triangulo es equilatero. La recta de Euler degenera a un punto. Todo lo que distinguia a los tres centros desaparece.

Demostraciones

Por que estas propiedades son razonables

Cada prueba esta pensada como escalera corta: primero el gesto visual, luego la cadena de ideas.

Demostracion guiada

Demostracion de la colinealidad y la razon 2:1

Probar que $H$ , $G$ , $O$ son colineales con $HG:GO = 2:1$ usando vectores.

1Coloca el origen en el circuncentro $O$ . En ese sistema $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = \vec{OH}$ (identidad vectorial del ortocentro con origen en $O$ ).
2El baricentro en ese mismo sistema es $G = (A + B + C)/3$ .
3Entonces $\vec{OG} = (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC})/3 = \vec{OH}/3$ .
4Esto da $\vec{OG} = \frac{1}{3} \vec{OH}$ , luego $G$ esta sobre el segmento $OH$ a un tercio del camino desde $O$ .
5Por tanto $HG = \frac{2}{3} HO$ y $GO = \frac{1}{3} HO$ , lo que da $HG:GO = 2:1$ .
6 $H$ , $G$ , $O$ son colineales porque $G = O + \frac{1}{3}(H-O)$ , una combinacion convexa de $H$ y $O$ .

Ejemplos

Como empieza a usarse en problemas

No son ejercicios largos. Son escenas cortas para que la configuracion empiece a sentirse util y no solo bonita.

Ejemplo guiado

Encontrar el ortocentro dado O y G

En un triangulo se sabe que $O = (2, 1)$ y $G = (4, 3)$ . Encuentra el ortocentro $H$ .

1. La recta de Euler dice que

G

divide

HO

en razon

HG:GO = 2:1

2. Entonces

G = O + \frac{1}{3}(H - O)

, o equivalentemente

H = O + 3(G - O)

H = (2,1) + 3((4,3)-(2,1)) = (2,1) + 3(2,2) = (2,1) + (6,6) = (8,7)

Lo que conviene guardarse

La formula $H = 3G - 2O$ (en vectores desde el origen) permite hallar cualquiera de los tres centros dado los otros dos.

Ejemplo guiado

Ubicar el centro del circulo de los nueve puntos

Con $H = (8,7)$ y $O = (2,1)$ , donde esta el centro $N_9$ del circulo de los nueve puntos?

N_9

es el punto medio de

HO

N_9 = \frac{H + O}{2} = \frac{(8,7)+(2,1)}{2} = (5, 4)

Lo que conviene guardarse

El circulo de los nueve puntos siempre esta en la recta de Euler, exactamente a mitad de camino entre $H$ y $O$ .

Ramas

Por donde se sigue desde aqui

La idea del atlas es esta: cada nodo te deja mejor parado para abrir el siguiente, no para volver a empezar desde cero.

Ramas disponibles

Este nodo cierra por ahora la rama viva actual.

Lo que sigue despues

Circulo de los nueve puntos

Los puntos medios de los lados, los pies de las alturas y los puntos medios de AH, BH, CH comparten un solo circulo.

Identidad vectorial del ortocentro

La relacion $\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$ es la base algebraica de la recta de Euler.

Mismo racimo

Ortocentro

El punto donde las alturas se encuentran no cierra el dibujo: lo abre. Desde ahi aparecen angulos, cuadrilateros ciclicos y el triangulo ortico.

Baricentro

El punto donde se cruzan las tres medianas divide cada una en razon 2:1. Es el centro de masa del triangulo y el puente natural hacia areas y puntos medios.

Circuncentro

El punto donde las mediatrices se cruzan es equidistante de los tres vertices. Ese radio comun es el radio de la circunferencia circunscrita.

Temas de apoyo en la biblioteca

Geometria

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Angulos y triangulos

Fundamentos geometricos antes de semejanza y circunferencias.

Semejanza de triángulos

Domina los criterios de semejanza y úsalos para calcular longitudes y áreas.

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