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Puede contener errores teóricos, ejemplos incompletos o explicaciones que todavía estamos puliendo. Úsala como referencia inicial, pero verifica los resultados importantes con tu profesor o con fuentes adicionales.

1. Lineas notables del triangulo2. Ortocentro3. Triangulo ortico

Ortocentro

Triangulo ortico

Al unir los pies de las alturas aparece una figura nueva que concentra el comportamiento angular del triangulo original y deja listas varias ramas ciclicas.

Familia
Consecuencia visible
Propiedades
3
Demostraciones
1

Como mirar este nodo

No mires solo el triangulo pequeno. Mira tambien los tres cuadrilateros ciclicos que lo rodean y el papel del ortocentro dentro de esa red.

Figura base

Diagrama para leer antes que calcular

Por ahora este primer bloque entra con diagramas propios y navegacion viva. La siguiente capa natural sera volverlo manipulable.

ABCDEFHtriangulo orticoun ciclo recto
triangulo orticociclo rectoortocentro

Que conviene notar

  • Los angulos del ortico se leen como ∠EDF=180∘−2∠A\angle EDF = 180^\circ - 2\angle A, ∠DEF=180∘−2∠B\angle DEF = 180^\circ - 2\angle B y ∠EFD=180∘−2∠C\angle EFD = 180^\circ - 2\angle C.
  • Los circulos A,E,H,FA,E,H,F, B,F,H,DB,F,H,D y C,D,H,EC,D,H,E siguen activos y ayudan a perseguir angulos del ortico.
  • El ortico es una consecuencia natural de las alturas, no un objeto aislado.
  • Desde aqui se abren muy bien las ramas hacia cuadrilateros ciclicos asociados y reflejos del ortocentro.

Lectura central

Que esta pasando en esta configuracion

La idea no es coleccionar nombres. Lo importante es entender que tipo de fuerza geometrica aparece cuando esta figura entra al problema.

Si D,E,FD,E,F son los pies de las alturas de un triangulo acutangulo ABCABC, el triangulo DEFDEF se llama triangulo ortico. Es una de esas configuraciones que parecen secundaria al principio, pero que luego ordenan el dibujo completo.

Su fuerza viene de dos hechos. Primero, cada vertice del ortico hereda angulos del triangulo grande. Segundo, los cuadrilateros ciclicos con HH permiten pasar de una figura a otra casi sin calcular.

Propiedades

Hechos que conviene tener listos

Estas son las lecturas que deberian encenderse apenas reconoces la configuracion.

Angulos del ortico

Si D,E,FD,E,F son los pies de las alturas, entonces ∠EDF=180∘−2A\angle EDF = 180^\circ - 2A, ∠DEF=180∘−2B\angle DEF = 180^\circ - 2B y ∠EFD=180∘−2C\angle EFD = 180^\circ - 2C. El triangulo pequeno guarda memoria directa de los angulos del grande.

Los ciclos rectos siguen mandando

Los cuadrilateros A,E,H,FA,E,H,F, B,F,H,DB,F,H,D y C,D,H,EC,D,H,E permiten trasladar angulos del triangulo grande al ortico con persecuciones sorprendentemente cortas.

No es una figura separada

El ortico no reemplaza al triangulo original. Funciona como una capa nueva montada sobre la misma configuracion de alturas y pies perpendiculares.

Demostraciones

Por que estas propiedades son razonables

Cada prueba esta pensada como escalera corta: primero el gesto visual, luego la cadena de ideas.

Demostracion guiada

Por que ∠EDF=180∘−2A\angle EDF = 180^\circ - 2A

Ver como el ortico hereda el angulo AA del triangulo grande mediante dos cuadrilateros ciclicos.

  1. 1Como C,D,H,EC,D,H,E es ciclico, los angulos que subtienen el segmento EHEH son iguales. Entonces ∠EDH=∠ECH\angle EDH = \angle ECH.
  2. 2Pero ECEC va por ACAC y CH⊥ABCH \perp AB, asi que ∠ECH=90∘−A\angle ECH = 90^\circ - A. Por tanto ∠EDH=90∘−A\angle EDH = 90^\circ - A.
  3. 3De forma similar, como B,F,H,DB,F,H,D es ciclico, se tiene ∠HDF=∠HBF\angle HDF = \angle HBF.
  4. 4La recta BHBH es perpendicular a ACAC, asi que ∠HBF=90∘−A\angle HBF = 90^\circ - A. Luego ∠HDF=90∘−A\angle HDF = 90^\circ - A.
  5. 5Sumando en el vertice DD del ortico: ∠EDF=∠EDH+∠HDF=(90∘−A)+(90∘−A)=180∘−2A\angle EDF = \angle EDH + \angle HDF = (90^\circ - A) + (90^\circ - A) = 180^\circ - 2A.
  6. 6Las otras dos formulas salen igual por simetria ciclica.

Ejemplos

Como empieza a usarse en problemas

No son ejercicios largos. Son escenas cortas para que la configuracion empiece a sentirse util y no solo bonita.

Ejemplo guiado

Traducir angulos del triangulo grande al pequeno

Si en ABCABC se tiene A=50∘A = 50^\circ, B=60∘B = 60^\circ y C=70∘C = 70^\circ, cuales son los angulos del triangulo ortico?

1. Usa directamente las identidades del ortico: ∠EDF=180∘−2A\angle EDF = 180^\circ - 2A, ∠DEF=180∘−2B\angle DEF = 180^\circ - 2B y ∠EFD=180∘−2C\angle EFD = 180^\circ - 2C.
2. Queda ∠EDF=80∘\angle EDF = 80^\circ, ∠DEF=60∘\angle DEF = 60^\circ y ∠EFD=40∘\angle EFD = 40^\circ.
3. El triangulo pequeno no esta improvisando angulos nuevos: esta reorganizando los del original.

Lo que conviene guardarse

Cuando el ortico aparece, suele convenir traducir enseguida los angulos del triangulo grande al pequeno.

Ejemplo guiado

Leer una rama futura desde el ortico

Despues de dibujar el ortico, que consecuencia visual conviene sospechar si ves varios angulos rectos repetidos alrededor de HH?

1. Lo natural es sospechar cuadrilateros ciclicos apoyados en esos angulos rectos.
2. En particular, los ciclos A,E,H,FA,E,H,F, B,F,H,DB,F,H,D y C,D,H,EC,D,H,E siguen dando informacion muy util.
3. Eso vuelve bastante natural la siguiente rama del atlas: cuadrilateros ciclicos asociados a alturas.

Lo que conviene guardarse

El ortico no cierra el tema; abre la rama ciclica que viene inmediatamente despues.

Ramas

Por donde se sigue desde aqui

La idea del atlas es esta: cada nodo te deja mejor parado para abrir el siguiente, no para volver a empezar desde cero.

Ramas disponibles

Reflejos del ortocentro

Como los reflejos de HH sobre los lados empujan hacia la circunferencia circunscrita.

Lo que sigue despues

Cuadrilateros ciclicos de las alturas

La siguiente rama ideal despues del ortico: mirar cada ciclo recto como objeto propio.

Mismo racimo

Lineas notables del triangulo

Una forma ordenada de entrar a centros y configuraciones geometricas sin mirar el triangulo como si siempre empezara desde cero.

Ortocentro

El punto donde las alturas se encuentran no cierra el dibujo: lo abre. Desde ahi aparecen angulos, cuadrilateros ciclicos y el triangulo ortico.

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