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Ecuaciones cuadraticas

Resolucion de ecuaciones de segundo grado por factorizacion, completacion de cuadrados y formula general.

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Brujula de estudio

Tres maneras utiles de abrir este tema

Del polinomio cuadratico a sus raices.

Entrada~10 min

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Sirve cuando vienes con poco tiempo o solo quieres recordar la idea dominante antes de pasar a otra lectura.

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Lectura base, un recurso central y una practica corta suelen bastar para que el tema ya empiece a quedarse.

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Util antes de clase, despues de entrenar o cuando quieras confirmar que no te llevas una confusion escondida.

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Ruta sugerida

Como conviene estudiar este tema

No hace falta abrir todo. Empieza por la lectura base, usa un recurso principal para mover la idea y deja lo complementario para cuando de verdad te aporte.

Paso 1Base

Empieza por la lectura base

Aqui construyes el mapa del tema: como reconocer la estructura, que tecnica conviene y donde suelen aparecer los errores.

Paso 2Principal

Pasa a un recurso principal

Usa una sola vista interactiva para mover la idea central sin abrir demasiadas cosas a la vez.

Paso 3Practica

Practica una tecnica cada vez

En esta parte ya no conviene seguir leyendo sin actuar: intenta ejercicios con pistas y comprueba si el metodo realmente te sale.

Paso 4Opcional por si te sirve

Deja lo complementario para el final

Video, quiz formal, PDF o recursos extra sirven como apoyo. No hace falta abrirlos todos para entender bien el tema.

Antes de abrir este tema

Si alguno de estos temas te falta, te conviene repasarlo primero para que la lectura fluya mejor.

ALGFactorizacion

Lectura principal

Teoria y desarrollo

Recorrido sugerido

Si te pierdes, usa este mapa

No hace falta leer todo de un tiron. Puedes avanzar por bloques: entender la idea, fijar algunas reglas, comprobar si las distingues bien y luego practicar.

1Lectura

Idea base

2Lectura

La ley del producto nulo

3Lectura

Metodo 1: factorizacion

4Lectura

Metodo 2: completacion de cuadrados

5Lectura

Metodo 3: formula general

6Lectura

Como leer el discriminante

7Lectura

Cuando hay raiz doble

8Lectura

Elegir metodo

9Lectura

Conexion con la grafica

10Lectura

Lo que viene despues

11Lectura

Una lectura util antes de resolver

12Practica

Ejercicios

Idea base

Una ecuacion cuadratica tiene la forma

ax2+bx+c=0,a≠0.ax^2 + bx + c = 0, \qquad a \neq 0.

Resolverla significa encontrar los valores de xx que hacen verdadera la igualdad.

Antes de aplicar cualquier metodo, conviene siempre hacer esta revision:

  1. La ecuacion ya esta igualada a cero.
  2. Los terminos semejantes ya estan reducidos.
  3. El coeficiente de x2x^2 realmente no es cero.

La ley del producto nulo

La factorizacion funciona porque si

uv=0,uv=0,

entonces necesariamente

u=0ov=0.u=0 \quad \text{o} \quad v=0.

Ese principio es el corazon del metodo.

Metodo 1: factorizacion

Si la expresion factoriza con facilidad, este suele ser el camino mas rapido.

Ejemplo 1

Resuelve

x2−5x+6=0.x^2 - 5x + 6 = 0.

Factorizamos:

x2−5x+6=(x−2)(x−3).x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3).

Entonces:

(x−2)(x−3)=0  ⟹  x=2 o x=3.(x-2)(x-3)=0 \implies x=2 \text{ o } x=3.

Ejemplo 2

Resuelve

2x2−3x−2=0.2x^2-3x-2=0.

Buscamos una factorizacion:

2x2−3x−2=(2x+1)(x−2).2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2).

Por tanto:

(2x+1)(x−2)=0(2x+1)(x-2)=0

y las soluciones son

x=−12ox=2.x=-\frac12 \quad \text{o} \quad x=2.

Metodo 2: completacion de cuadrados

Este metodo explica de donde sale la formula general y ayuda a entender la estructura de la parabola.

Ejemplo 3

Resuelve

x2+6x+5=0.x^2 + 6x + 5 = 0.

Pasamos el termino independiente:

x2+6x=−5.x^2 + 6x = -5.

Completamos cuadrado sumando 99 a ambos lados:

x2+6x+9=4.x^2 + 6x + 9 = 4.

Eso es:

(x+3)2=4.(x+3)^2 = 4.

Entonces:

x+3=±2,x+3 = \pm 2,

de donde

x=−1ox=−5.x=-1 \quad \text{o} \quad x=-5.

Completar cuadrados no es solo una tecnica de resolucion. Tambien sirve para:

  • identificar el vertice de la parabola;
  • estudiar minimos y maximos;
  • y reorganizar expresiones cuadraticas en desigualdades.

Metodo 3: formula general

Idea clave

Formula general

Si ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0, entonces

x=−b±b2−4ac2a.x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.

La formula general siempre funciona, siempre que realmente tengas una cuadratica y que no olvides llevarla antes a forma estandar.

El numero

Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac

se llama discriminante.

Como leer el discriminante

  • Si Δ>0\Delta > 0, hay dos soluciones reales distintas.
  • Si Δ=0\Delta = 0, hay una solucion real doble.
  • Si Δ<0\Delta < 0, no hay soluciones reales.

Ejemplo 4

Resuelve

2x2+x−3=0.2x^2 + x - 3 = 0.

Aqui

a=2,b=1,c=−3.a=2,\qquad b=1,\qquad c=-3.

Entonces:

Δ=1−4(2)(−3)=25.\Delta = 1 - 4(2)(-3) = 25.

Aplicamos la formula:

x=−1±54.x = \frac{-1 \pm 5}{4}.

Por lo tanto,

x=1ox=−32.x=1 \quad \text{o} \quad x=-\frac{3}{2}.

Cuando hay raiz doble

Ejemplo 5

Determina para que valores de kk la ecuacion

x2+kx+9=0x^2 + kx + 9 = 0

tiene una raiz doble.

Para tener raiz doble pedimos

Δ=0.\Delta = 0.

Entonces:

k2−36=0.k^2 - 36 = 0.

De donde:

k=±6.k=\pm 6.

Elegir metodo

No todos los metodos valen lo mismo en cada ejercicio.

Tip:

Si la ecuacion factoriza facil, factoriza. Si no ves la factorizacion rapido, la formula general siempre funciona. Si quieres entender la estructura, completar cuadrados ayuda mucho.

Una buena costumbre es intentar primero una lectura corta:

  • se ve una factorizacion evidente;
  • se parece a un cuadrado perfecto;
  • o conviene aplicar la formula directamente.

Conexion con la grafica

La grafica de

y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c

es una parabola. Sus intersecciones con el eje xx son las raices.

Eso conecta algebra con intuicion visual:

  • dos cortes: dos raices reales;
  • un toque: raiz doble;
  • ningun corte: no hay raices reales.

Completar cuadrados ayuda a ver tambien donde esta el vertice.

Lo que viene despues

Una vez que sabes resolver ecuaciones cuadraticas, el siguiente salto importante es dejar de calcular siempre las raices una por una y empezar a leerlas desde los coeficientes. Eso conduce a Vieta y a problemas olimpicos mucho mas elegantes.

Una lectura util antes de resolver

No todas las cuadraticas llegan ya en forma "limpia". A veces primero hay que reorganizar la ecuacion.

Ejemplo 6

Resuelve

x(x−3)=4.x(x-3)=4.

Primero llevamos todo al mismo lado:

x2−3x−4=0.x^2-3x-4=0.

Ahora si es una cuadratica comun. Factorizamos:

x2−3x−4=(x−4)(x+1).x^2-3x-4=(x-4)(x+1).

Por tanto,

x=4ox=−1.x=4 \quad \text{o} \quad x=-1.

Este paso parece pequeno, pero en problemas reales aparece mucho: la ecuacion no se resuelve hasta que la conviertes en cuadratica de verdad.

Ejercicios

Ejercicio

Nivel 1/5

Resuelve:

x2+7x+12=0.x^2 + 7x + 12 = 0.

Ejercicio

Nivel 2/5

Resuelve:

3x2−2x−1=0.3x^2 - 2x - 1 = 0.

Ejercicio

Nivel 2/5

Resuelve completando cuadrados:

x2−4x−5=0.x^2 - 4x - 5 = 0.

Ejercicio

Nivel 3/5

Determina para que valores de kk la ecuacion

x2+kx+9=0x^2 + kx + 9 = 0

tiene una raiz doble.

Ejercicio

Nivel 3/5

Explica por que no tiene sentido aplicar la formula general a una ecuacion si antes no verificaste que realmente es cuadratica.

Ejercicio

Nivel 4/5

Resuelve

2x2−3x−2=02x^2-3x-2=0

por factorizacion y verifica luego con la formula general.

Ejercicio

Nivel 3/5

Resuelve

x(x+5)=14.x(x+5)=14.

Ejercicio

Nivel 4/5

Explica por que la ecuacion

x2+4x+5=0x^2+4x+5=0

no tiene soluciones reales sin necesidad de aplicar la formula general completa.

Completar cuadrados y leer la parabola

Reescribir una cuadratica en forma de vertice no solo resuelve ecuaciones: tambien revela el vertice, la simetria y la distancia a las raices.

Mientras lo usas

  • Que informacion de la grafica aparece mas clara cuando la expresion queda en forma de vertice?
  • Como se conecta el cuadrado perfecto que construyes con el discriminante y el numero de raices?
  • Cuando conviene completar cuadrados aunque tambien podrias usar formula general?

Material complementario

Explora otras vistas solo si te ayudan

Este bloque es opcional. Sirve para variar la practica, comparar representaciones o ver el tema desde otra interfaz.

3 recursos
GeoGebraPracticaOpcional

Matching Quadratic Graphs to Factored Forms

Excelente para unir factor comun, ceros y grafica en una sola lectura.

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GeoGebraExploracionOpcional

The Quadratic Formula

Te obliga a leer con cuidado los coeficientes y a mirar como la formula responde al discriminante.

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GeoGebraModelo visualOpcional

Completing the Square: Choose Your Own Expression

Muy util para practicar completacion de cuadrados con expresiones elegidas por ti y no solo con ejemplos fijos.

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Errores que conviene vigilar

  • No llevar la ecuacion a la forma $ax^2+bx+c=0$ antes de resolver.
  • Perder una raiz al factorizar.
  • Usar la formula general con signos mal copiados.

Si quieres seguir leyendo

Estos temas encajan bien como siguiente paso natural despues de este tema.

ALGSistemas de ecuaciones y eliminacionALGRelaciones entre raices y coeficientesALGPolinomios y teorema del factor