Polinomios y teorema del factor

Tres maneras utiles de abrir este tema

Una puerta importante hacia el algebra olimpica con polinomios.

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Idea central

Cuando trabajas con polinomios, evaluar en un numero concreto puede revelar muchisima estructura.

Idea clave

Teorema del resto y teorema del factor

Si dividimos un polinomio $P(x)$ entre $(x-a)$ , el resto es $P(a)$ .

En particular:

P(a)=0 \iff (x-a) \text{ es factor de } P(x).

Esta idea parece simple, pero cambia mucho tu forma de mirar polinomios:

ya no pruebas factores a ciegas;
usas evaluaciones para detectar divisibilidad;
y puedes pasar de "raiz" a "factor" de manera inmediata.

Leer el teorema correctamente

Si $a$ es raiz, el factor es

(x-a),

no $(x+a)$ .

Ejemplo 1

Sea

P(x)=x^3-4x^2+x+6.

Probamos $x=2$ :

P(2)=8-16+2+6=0.

Entonces $(x-2)$ es factor de $P(x)$ .

Ese paso parece pequeno, pero es uno de los errores de signo mas comunes en algebra olimpica.

El teorema del resto como herramienta de calculo

No siempre buscas un factor. A veces solo quieres un resto.

Ejemplo 2

Encuentra el resto al dividir

x^3 - 7x + 6

entre $(x-1)$ .

Por el teorema del resto, basta evaluar en $x=1$ :

1 - 7 + 6 = 0.

El resto es $0$ , asi que ademas $(x-1)$ es factor.

Este es un buen ejemplo de doble lectura: un solo calculo te da el resto y te dice si hay divisibilidad.

Por que probar numeros pequenos

En muchos problemas, antes de hacer cuentas grandes conviene probar

x=0,\ \pm 1,\ \pm 2,\ \pm 3.

No siempre funciona, pero cuando funciona ahorra mucho tiempo. Especialmente si los coeficientes son enteros y el termino independiente es pequeno.

Ejemplo 3

Factoriza

x^3 - x^2 - 4x + 4.

Puedes agrupar:

x^2(x-1)-4(x-1)=(x-1)(x^2-4).

Luego:

(x-1)(x^2-4)=(x-1)(x-2)(x+2).

Aqui la estructura aparece por agrupacion, pero el teorema del factor tambien te deja sospechar rapidamente las raices $1$ , $2$ y $-2$ .

La leccion importante es esta: no hay una sola puerta. A veces el teorema del factor confirma una estructura; otras veces la estructura te regala las raices antes.

Multiplicidad de raiz

Si un factor aparece repetido, la raiz tambien se repite.

Ejemplo 4

Considera

P(x)=(x-3)^2(x+1).

Entonces:

$x=3$ es una raiz doble;
$x=-1$ es una raiz simple.

Eso importa porque no todas las factorizaciones lineales cuentan igual. En algunos problemas, reconocer una raiz repetida cambia completamente la estrategia.

Construir un polinomio a partir de sus raices

Si conoces las raices, puedes reconstruir un polinomio.

Ejemplo 5

Un polinomio monico de grado $3$ con raices $1$ , $-2$ y $5$ es

(x-1)(x+2)(x-5).

Si no necesitas coeficientes expandidos, muchas veces conviene dejarlo asi.

Tip:

En problemas olimpicos, la forma factorizada suele contener mas informacion que la forma expandida.

Polinomios iguales como funciones

Dos polinomios son iguales si coinciden coeficiente a coeficiente. Pero en problemas, a veces es mas util comparar valores y ceros.

Ejemplo 6

P(x) = (x-1)(x-2)(x-3) + 6,

entonces

P(1)=6,\qquad P(2)=6,\qquad P(3)=6.

Eso significa que

P(x)-6

se anula en $1$ , $2$ y $3$ , asi que es divisible por

(x-1)(x-2)(x-3).

Esta forma de pensar es muy util cuando el problema no te pide "hallar el polinomio" sino detectar una divisibilidad o una identidad.

Un uso olimpico muy tipico

Si sabes que

P(a)=0 \quad \text{y} \quad P(b)=0,

entonces ya sospechas que

(x-a)(x-b)

divide a $P(x)$ , siempre que $a \neq b$ .

Ejemplo 7

Si $P(1)=0$ y $P(2)=0$ , entonces $(x-1)$ y $(x-2)$ son factores. Por tanto,

(x-1)(x-2)

divide a $P(x)$ .

Este tipo de observacion aparece mucho cuando un problema te da varios valores donde el polinomio vale cero, uno o una misma constante.

Como pensar antes de expandir

Cuando tengas un polinomio enfrente, preguntate:

Conviene evaluarlo en un numero pequeno.
Hay una agrupacion natural.
Ya conozco alguna raiz o puedo adivinar una buena candidata.
La forma factorizada seria mas informativa que la expandida.

Cuando varios valores dan el mismo resultado

No solo importan los ceros. Tambien importa cuando un polinomio toma la misma constante en varios puntos.

Ejemplo 8

Si un polinomio $P(x)$ cumple

P(1)=P(2)=P(3)=4,

entonces

P(1)-4=P(2)-4=P(3)-4=0.

Eso significa que el polinomio

P(x)-4

tiene tres raices: $1$ , $2$ y $3$ . Por tanto, es divisible por

(x-1)(x-2)(x-3).

Esta idea aparece mucho en problemas de identidades polinomicas.

Ejercicios

Ejercicio

Nivel 2/5

Decide si $(x-2)$ es factor de

x^3 - 5x + 6.

Ejercicio

Nivel 3/5

Halla el resto de dividir

2x^3 - x^2 + 5

entre $(x+1)$ .

Ejercicio

Nivel 3/5

Encuentra un polinomio monico de grado $2$ cuyas raices sean $3$ y $-4$ .

Ejercicio

Nivel 4/5

Explica por que si $P(1)=0$ y $P(2)=0$ , entonces $(x-1)(x-2)$ divide a $P(x)$ .

Ejercicio

Nivel 4/5

Da un ejemplo de polinomio con una raiz doble en $x=3$ y una raiz simple en $x=-1$ .

Ejercicio

Nivel 5/5

Si un polinomio de grado $3$ toma el mismo valor en $x=1$ , $x=2$ y $x=3$ , explica que puedes afirmar sobre $P(x)-P(1)$ .

Ejercicio

Nivel 5/5

Si $P(1)=P(2)=P(3)=7$ , explica por que

(x-1)(x-2)(x-3)

divide a

P(x)-7.

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