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AlgebraBasicoTeoriaRepasoProblemas

Productos notables

Patrones algebraicos que aparecen una y otra vez: cuadrados de binomio, diferencia de cuadrados y cubos notables.

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Brujula de estudio

Tres maneras utiles de abrir este tema

Identidades que aceleran expansion, reconocimiento y factorizacion.

Entrada~10 min

Ubicate sin abrir todo

Sirve cuando vienes con poco tiempo o solo quieres recordar la idea dominante antes de pasar a otra lectura.

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Principal~25 min

Haz una vuelta completa

Lectura base, un recurso central y una practica corta suelen bastar para que el tema ya empiece a quedarse.

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Cierre~10 min

Comprueba si ya te sirve

Util antes de clase, despues de entrenar o cuando quieras confirmar que no te llevas una confusion escondida.

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Ruta sugerida

Como conviene estudiar este tema

No hace falta abrir todo. Empieza por la lectura base, usa un recurso principal para mover la idea y deja lo complementario para cuando de verdad te aporte.

Paso 1Base

Empieza por la lectura base

Aqui construyes el mapa del tema: como reconocer la estructura, que tecnica conviene y donde suelen aparecer los errores.

Paso 2Principal

Pasa a un recurso principal

Usa una sola vista interactiva para mover la idea central sin abrir demasiadas cosas a la vez.

Paso 3Practica

Practica una tecnica cada vez

En esta parte ya no conviene seguir leyendo sin actuar: intenta ejercicios con pistas y comprueba si el metodo realmente te sale.

Paso 4Opcional por si te sirve

Deja lo complementario para el final

Video, quiz formal, PDF o recursos extra sirven como apoyo. No hace falta abrirlos todos para entender bien el tema.

Antes de abrir este tema

Si alguno de estos temas te falta, te conviene repasarlo primero para que la lectura fluya mejor.

ALGExpresiones algebraicas

Lectura principal

Teoria y desarrollo

Recorrido sugerido

Si te pierdes, usa este mapa

No hace falta leer todo de un tiron. Puedes avanzar por bloques: entender la idea, fijar algunas reglas, comprobar si las distingues bien y luego practicar.

1Lectura

Idea central

2Lectura

Leerlas en ambos sentidos

3Lectura

Expandir con cuidado

4Lectura

Reconocer un cuadrado perfecto

5Lectura

Diferencia de cuadrados mas alla del caso simple

6Lectura

Cubos notables

7Lectura

Identidades para transformar expresiones

8Lectura

Identidades mixtas que conviene recordar

9Lectura

Como decidir que identidad probar

10Practica

Ejercicios

Idea central

Los productos notables no son una lista para memorizar de forma ciega. Son patrones estables que aparecen:

  • al expandir;
  • al reconocer una estructura escondida;
  • al factorizar;
  • y al transformar una expresion para compararla con otra.

En algebra olimpica, muchas veces ganas tiempo no por calcular mas rapido, sino por detectar antes la forma correcta.

Idea clave

Identidades indispensables

(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2(a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2

Leerlas en ambos sentidos

La misma identidad sirve para dos tareas distintas:

  1. expandir una expresion compacta;
  2. reconocer una expresion desarrollada y volverla mas estructural.

Ese segundo uso es el que mas valor da despues, porque conecta directo con factorizacion, desigualdades y ecuaciones.

Expandir con cuidado

Ejemplo 1

Expande

(x+5)2.(x+5)^2.

No basta decir "cuadrado el primero y el ultimo". Hay que cuidar el termino del medio:

(x+5)2=x2+2(x)(5)+52=x2+10x+25.(x+5)^2 = x^2 + 2(x)(5) + 5^2 = x^2 + 10x + 25.

Ejemplo 2

Expande

(2y−3)2.(2y-3)^2.

Aqui el primer termino es 2y2y, no solo yy. Entonces:

(2y−3)2=(2y)2−2(2y)(3)+32=4y2−12y+9.(2y-3)^2 = (2y)^2 - 2(2y)(3) + 3^2 = 4y^2 - 12y + 9.
Atencion:

En (a−b)2(a-b)^2, el ultimo termino sigue siendo positivo porque proviene de b2b^2. El signo negativo solo afecta al termino del medio.

Reconocer un cuadrado perfecto

Si ves una expresion de tres terminos, pregunta:

  • el primero y el ultimo son cuadrados;
  • el del medio es exactamente ±2ab\pm 2ab;
  • el signo coincide con la identidad.

Ejemplo 3

Reescribe

x2+6x+9x^2 + 6x + 9

como cuadrado perfecto.

Observamos que:

  • x2=x2x^2 = x^2;
  • 9=329 = 3^2;
  • 6x=2⋅x⋅36x = 2 \cdot x \cdot 3.

Entonces:

x2+6x+9=(x+3)2.x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2.

Ejemplo 4

Reescribe

9x2−24x+16.9x^2 - 24x + 16.

Como

9x2=(3x)2,16=42,−24x=−2(3x)(4),9x^2 = (3x)^2, \qquad 16 = 4^2, \qquad -24x = -2(3x)(4),

tenemos:

9x2−24x+16=(3x−4)2.9x^2 - 24x + 16 = (3x-4)^2.

Diferencia de cuadrados mas alla del caso simple

La identidad

a2−b2=(a+b)(a−b)a^2-b^2 = (a+b)(a-b)

no solo sirve cuando aa y bb son numeros pequenos. Tambien sirve cuando son expresiones.

Ejemplo 5

Factoriza

9m2−16.9m^2 - 16.

Esto es:

(3m)2−42,(3m)^2 - 4^2,

asi que

9m2−16=(3m+4)(3m−4).9m^2 - 16 = (3m+4)(3m-4).

Ejemplo 6

Factoriza

x4−16.x^4 - 16.

Primero reconocemos una diferencia de cuadrados:

x4−16=(x2)2−42=(x2+4)(x2−4).x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2+4)(x^2-4).

Y luego repetimos la idea en x2−4x^2-4:

x2−4=(x+2)(x−2).x^2-4 = (x+2)(x-2).

Por tanto:

x4−16=(x2+4)(x+2)(x−2).x^4 - 16 = (x^2+4)(x+2)(x-2).

Esto es importante: una identidad notable no siempre resuelve todo de una sola vez; a veces abre la primera puerta.

Cubos notables

Conviene conocerlos aunque aparezcan menos que los cuadrados:

Idea clave

Suma y diferencia de cubos

a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)

Ejemplo 7

Factoriza

x3−8.x^3 - 8.

Como 8=238=2^3, aplicamos diferencia de cubos:

x3−8=(x−2)(x2+2x+4).x^3 - 8 = (x-2)(x^2+2x+4).
Atencion:

No confundas

a3+b3a^3+b^3

con

(a+b)3.(a+b)^3.

Son expresiones muy distintas.

Identidades para transformar expresiones

Los productos notables tambien permiten cambiar de perspectiva.

Ejemplo 8

Si conoces x+yx+y y xyxy, puedes hallar

x2+y2x^2+y^2

sin encontrar xx e yy por separado.

Usamos:

(x+y)2=x2+2xy+y2,(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2,

luego:

x2+y2=(x+y)2−2xy.x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy.

Si por ejemplo x+y=5x+y=5 y xy=6xy=6, entonces

x2+y2=25−12=13.x^2+y^2 = 25 - 12 = 13.

Este tipo de lectura aparece mucho en problemas olimpicos: no expandes porque si; expandes o compactas para extraer justo la informacion que importa.

Identidades mixtas que conviene recordar

No todas las aplicaciones vienen de expandir una sola potencia. A veces conviene combinar dos identidades a la vez.

Ejemplo 9

Simplifica

(a+b)2+(a−b)2.(a+b)^2+(a-b)^2.

Expandimos ambas:

(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2,(a−b)2=a2−2ab+b2.(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2.

Al sumar:

(a+b)2+(a−b)2=2a2+2b2.(a+b)^2+(a-b)^2 = 2a^2+2b^2.

Esta identidad es util porque los terminos cruzados se cancelan solos.

Como decidir que identidad probar

Hazte estas preguntas:

  1. La expresion tiene forma de cuadrado perfecto.
  2. Hay dos cuadrados separados por una resta.
  3. Aparece una suma o diferencia de cubos.
  4. La identidad puede revelar una factorizacion posterior.
Tip:

Si ves tres terminos y el primero y el ultimo son cuadrados, no mires solo "si se parece". Verifica de forma exacta si el del medio es ±2ab\pm 2ab.

Ejercicios

Ejercicio

Nivel 1/5

Expande:

(a+7)2.(a+7)^2.

Ejercicio

Nivel 2/5

Expande:

(3x−2)2.(3x-2)^2.

Ejercicio

Nivel 2/5

Factoriza:

25x2−4y2.25x^2 - 4y^2.

Ejercicio

Nivel 2/5

Reconoce y reescribe:

4t2+12t+9.4t^2 + 12t + 9.

Ejercicio

Nivel 3/5

Factoriza:

x4−81.x^4 - 81.

Ejercicio

Nivel 3/5

Factoriza:

8u3+27.8u^3 + 27.

Ejercicio

Nivel 4/5

Si x+y=6x+y=6 y xy=5xy=5, calcula

x2+y2x^2+y^2

sin hallar primero xx e yy.

Ejercicio

Nivel 3/5

Simplifica:

(m+n)2+(m−n)2.(m+n)^2+(m-n)^2.

Ejercicio

Nivel 4/5

Si a+b=10a+b=10 y ab=21ab=21, calcula

a2+b2a^2+b^2

sin resolver primero por separado aa y bb.

Modelo de area para productos notables

Este modelo deja ver por que al multiplicar binomios aparecen cuatro regiones y luego dos terminos semejantes se juntan en el termino del medio.

Mientras lo usas

  • Donde aparece cada uno de los cuatro terminos del producto dentro del rectangulo?
  • Por que en $(a+b)^2$ los terminos cruzados se suman y en $(a-b)^2$ se restan?
  • Que cambia en la figura cuando pasas de un binomio general a un cuadrado perfecto?

Material complementario

Explora otras vistas solo si te ayudan

Este bloque es opcional. Sirve para variar la practica, comparar representaciones o ver el tema desde otra interfaz.

3 recursos
GeoGebraExploracionOpcional

Multiplying Binomials with Algebra Tiles

Complementa el modelo de area con piezas movibles y hace mas visible la combinacion de terminos semejantes.

Abrir recurso

GeoGebraModelo visualOpcional

Diferencia de cuadrados con algebra tiles

Ayuda mucho cuando quieres explicar por que (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b)=a^2-b^2 desde una imagen y no solo desde una formula.

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GeoGebraExtensionOpcional

Multiplying Monomials with Polynomials Using Area Models

Sirve para conectar productos notables con distributiva y productos menos simetricos.

Abrir recurso

Errores que conviene vigilar

  • Olvidar el termino del medio en el cuadrado de un binomio.
  • Confundir $(a-b)^2$ con $a^2-b^2$.
  • Aplicar una identidad aunque la forma no coincide exactamente.

Si quieres seguir leyendo

Estos temas encajan bien como siguiente paso natural despues de este tema.

ALGFactorizacionALGFracciones algebraicas