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AlgebraIntermedioTeoriaProblemasTecnicas

Desigualdades algebraicas basicas

Primeras herramientas para comparar expresiones: cuadrados no negativos, AM-GM y manipulaciones seguras.

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Tres maneras utiles de abrir este tema

Un punto de entrada razonable al mundo de las desigualdades.

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Como conviene estudiar este tema

No hace falta abrir todo. Empieza por la lectura base, usa un recurso principal para mover la idea y deja lo complementario para cuando de verdad te aporte.

Paso 1Base

Empieza por la lectura base

Aqui construyes el mapa del tema: como reconocer la estructura, que tecnica conviene y donde suelen aparecer los errores.

Paso 2Practica

Practica una tecnica cada vez

En esta parte ya no conviene seguir leyendo sin actuar: intenta ejercicios con pistas y comprueba si el metodo realmente te sale.

Antes de abrir este tema

Si alguno de estos temas te falta, te conviene repasarlo primero para que la lectura fluya mejor.

ALGExpresiones algebraicasALGProductos notables

Lectura principal

Teoria y desarrollo

Recorrido sugerido

Si te pierdes, usa este mapa

No hace falta leer todo de un tiron. Puedes avanzar por bloques: entender la idea, fijar algunas reglas, comprobar si las distingues bien y luego practicar.

1Lectura

Idea central

2Lectura

Cuadrados no negativos

3Lectura

La desigualdad mas clasica de todas

4Lectura

Mirar la igualdad

5Lectura

AM-GM en su forma mas basica

6Lectura

AM-GM con tres cantidades

7Lectura

De una desigualdad salen otras

8Lectura

Como pensar una desigualdad

9Lectura

Una desigualdad con condicion

10Lectura

Como fabricar un cuadrado util

11Lectura

Una forma clasica en tres variables

12Practica

Ejercicios

Idea central

En desigualdades, una de las preguntas mas importantes es:

que expresion se sabe automaticamente que no puede ser negativa.

La respuesta mas comun es un cuadrado, pero no es la unica. El objetivo de este tema es desarrollar un reflejo:

  • reorganizar;
  • buscar cuadrados;
  • identificar donde aplicar AM-GM;
  • y mirar cuando ocurre la igualdad.

Cuadrados no negativos

Para todo numero real tt,

t2≥0.t^2 \ge 0.

Eso parece obvio, pero es una mina de oro en problemas.

Ejemplo 1

Demuestra que

x2+4x+4≥0x^2 + 4x + 4 \ge 0

para todo real xx.

Observamos que

x2+4x+4=(x+2)2.x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2.

Como todo cuadrado es no negativo:

(x+2)2≥0.(x+2)^2 \ge 0.

La desigualdad mas clasica de todas

Ejemplo 2

Demuestra que

x2+y2≥2xy.x^2 + y^2 \ge 2xy.

Reorganizamos:

x2−2xy+y2≥0,x^2 - 2xy + y^2 \ge 0,

es decir,

(x−y)2≥0.(x-y)^2 \ge 0.

Por lo tanto:

x2+y2≥2xy.x^2 + y^2 \ge 2xy.

Esta desigualdad aparece en mil disfraces distintos. A veces como

x2+1≥2x,x^2+1 \ge 2x,

otras como

a2+b2≥2ab,a^2+b^2 \ge 2ab,

y otras dentro de expresiones mucho mas largas.

Mirar la igualdad

En desigualdades, no solo importa probar que algo es cierto. Tambien conviene mirar cuando se alcanza la igualdad.

En el ejemplo anterior:

x2+y2≥2xyx^2 + y^2 \ge 2xy

la igualdad ocurre exactamente cuando

x=y,x=y,

porque eso hace que (x−y)2=0(x-y)^2=0.

Ese detalle es muy util en olimpiadas: la forma de igualdad suele indicar si la herramienta elegida tiene sentido.

AM-GM en su forma mas basica

Si a,b≥0a,b \ge 0, entonces

a+b2≥ab.\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}.

Equivalentemente:

a+b≥2ab.a+b \ge 2\sqrt{ab}.
Atencion:

AM-GM exige no negatividad. No la uses a ciegas si no sabes el signo de las cantidades.

Ejemplo 3

Si a,b≥0a,b \ge 0, demuestra que

a+b≥2ab.a+b \ge 2\sqrt{ab}.

Esto se puede probar desde cuadrados:

(a−b)2≥0.(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \ge 0.

Al expandir:

a−2ab+b≥0,a - 2\sqrt{ab} + b \ge 0,

de donde sale la desigualdad.

AM-GM con tres cantidades

Tambien conviene saber la version de tres variables:

si a,b,c≥0a,b,c \ge 0, entonces

a+b+c3≥abc3.\frac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[3]{abc}.

Es decir:

a+b+c≥3abc3.a+b+c \ge 3\sqrt[3]{abc}.

No hace falta dominarla de forma abstracta todavia, pero si reconocer que es la extension natural de la version de dos variables.

Ejemplo 4

Si a,b,c≥0a,b,c \ge 0, demuestra que

a+b+c≥3abc3.a+b+c \ge 3\sqrt[3]{abc}.

Esta es la forma de tres variables de AM-GM. En muchos problemas no necesitas reprobarla desde cero: basta reconocer que la suma de cantidades no negativas se puede comparar con su media geometrica.

De una desigualdad salen otras

Muchos resultados utiles se obtienen aplicando una idea basica sobre una expresion transformada.

Ejemplo 5

Demuestra que para x≠0x \neq 0,

x2+1x2≥2.x^2 + \frac{1}{x^2} \ge 2.

Aplicamos AM-GM a

x2y1x2,x^2 \quad \text{y} \quad \frac{1}{x^2},

que son no negativas:

x2+1x2≥2x2⋅1x2=2.x^2+\frac{1}{x^2} \ge 2\sqrt{x^2\cdot \frac{1}{x^2}} = 2.

Ejemplo 6

Si x>0x>0, demuestra que

x+1x≥2.x+\frac{1}{x} \ge 2.

Otra vez AM-GM:

x+1x≥2x⋅1x=2.x+\frac{1}{x} \ge 2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}} = 2.

Como pensar una desigualdad

Cuatro reflejos muy utiles:

  1. Llevar todo a un lado.
  2. Buscar una factorizacion o un cuadrado.
  3. Preguntar si AM-GM aplica de forma natural.
  4. Mirar cuando ocurre la igualdad.

Ejemplo 7

Demuestra que para todo real xx,

x2+1≥2x.x^2 + 1 \ge 2x.

Llevamos todo a un lado:

x2−2x+1≥0.x^2 - 2x + 1 \ge 0.

Eso es:

(x−1)2≥0.(x-1)^2 \ge 0.

Una desigualdad con condicion

Ejemplo 8

Si x+y=1x+y=1, demuestra que

x2+y2≥12.x^2+y^2 \ge \frac12.

Partimos de

x2+y2≥2xy.x^2+y^2 \ge 2xy.

Como

(x+y)2=x2+2xy+y2=1,(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 = 1,

tambien tenemos:

x2+y2=(x+y)2−2xy=1−2xy.x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 1 - 2xy.

La desigualdad x2+y2≥2xyx^2+y^2 \ge 2xy equivale a

1−2xy≥2xy,1-2xy \ge 2xy,

de donde

1≥4xy.1 \ge 4xy.

Entonces:

x2+y2=1−2xy≥1−12=12.x^2+y^2 = 1-2xy \ge 1-\frac12 = \frac12.

Ese tipo de mezcla entre identidad algebraica y desigualdad basica aparece mucho mas adelante.

Como fabricar un cuadrado util

Una tecnica muy basica, pero muy poderosa, es reescribir una expresion como "cuadrado + resto".

Ejemplo 9

Demuestra que para todo real xx,

x2+4x+5≥1.x^2+4x+5 \ge 1.

Reescribimos:

x2+4x+5=(x+2)2+1.x^2+4x+5 = (x+2)^2+1.

Como

(x+2)2≥0,(x+2)^2 \ge 0,

se sigue que

(x+2)2+1≥1.(x+2)^2+1 \ge 1.

Una forma clasica en tres variables

Ejemplo 10

Si a,b,c≥0a,b,c \ge 0, demuestra que

a+b+c≥3abc3.a+b+c \ge 3\sqrt[3]{abc}.

Aplicamos AM-GM a las tres cantidades no negativas a,b,ca,b,c:

a+b+c3≥abc3.\frac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[3]{abc}.

Multiplicando por 33:

a+b+c≥3abc3.a+b+c \ge 3\sqrt[3]{abc}.

Es la extension natural del caso de dos variables y aparece muchisimo en desigualdades simetricas.

Ejercicios

Ejercicio

Nivel 2/5

Demuestra que

x2+6x+9≥0x^2 + 6x + 9 \ge 0

para todo real xx.

Ejercicio

Nivel 3/5

Demuestra que

a2+b2≥2aba^2 + b^2 \ge 2ab

para todos los reales a,ba,b.

Ejercicio

Nivel 3/5

Si a,b≥0a,b \ge 0, demuestra que

a+b≥2ab.a+b \ge 2\sqrt{ab}.

Ejercicio

Nivel 4/5

Demuestra que para todo real xx,

x2+1x2≥2x^2 + \frac{1}{x^2} \ge 2

siempre que x≠0x \neq 0.

Ejercicio

Nivel 4/5

Si x>0x>0, demuestra que

x+1x≥2.x+\frac{1}{x} \ge 2.

Ejercicio

Nivel 5/5

Si x+y=1x+y=1, demuestra que

x2+y2≥12.x^2+y^2 \ge \frac12.

Ejercicio

Nivel 4/5

Demuestra que para todo real xx,

x2+6x+13≥4.x^2+6x+13 \ge 4.

Ejercicio

Nivel 5/5

Si a,b,c≥0a,b,c \ge 0, demuestra que

a+b+c≥3abc3.a+b+c \ge 3\sqrt[3]{abc}.

Errores que conviene vigilar

  • Mover terminos sin cuidar cuando una cantidad puede ser negativa.
  • Aplicar AM-GM sin verificar positividad.
  • Olvidar que muchas desigualdades se prueban reorganizando, no calculando.

Si quieres seguir leyendo

Estos temas encajan bien como siguiente paso natural despues de este tema.

ALGInecuaciones y analisis de signoALGCauchy-Schwarz y Titu's LemmaALGSimetria y sustitucion