Cauchy-Schwarz y Titu's Lemma

Idea central

En desigualdades olimpicas, una de las preguntas mas utiles es:

como comparo una suma complicada con algo mas simple sin expandir todo.

Cauchy-Schwarz y Titu's Lemma aparecen justo ahi. No sustituyen pensar, pero suelen comprimir una expresion de forma muy poderosa.

La forma basica de Cauchy-Schwarz

Para reales $a,b,x,y$:

Una forma rapida de leerla es:

el producto de dos sumas de cuadrados domina el cuadrado del producto escalar.

Esto es una forma elegante de recuperar la desigualdad

Una version con tres variables

Esta forma aparece muchisimo cuando quieres controlar una suma por su promedio cuadratico.

Titu's Lemma

Una forma muy usada de Engel-Cauchy es:

si $x,y>0$.

Se parece mucho a Cauchy, pero esta escrita justo para sumas de fracciones cuadraticas.

De donde sale Titu

No hace falta memorizarla como una formula aislada. Puedes verla como una aplicacion de Cauchy a

De ahi sale una intuicion muy importante:

• los numeradores quieren parecer cuadrados;
• los denominadores deben ser positivos;
• y la suma final suele querer colapsar a algo como $(a+b)^2$.

Una lectura util

Titu's Lemma funciona bien cuando ves una suma del tipo:

Si la expresion no tiene esa forma, forzarla demasiado puede ser una mala idea.

Un clasico de competencia

Este es un ejemplo muy importante porque enseña a fabricar el lado derecho correcto.

Ejemplo un poco mas olimpico

Ese tipo de salto es muy comun en entrenamiento olimpico: una suma aparentemente desigual se vuelve directa al reconocer la forma correcta.

Donde mirar la igualdad

En muchas desigualdades, la igualdad aparece cuando todas las variables relevantes coinciden. Aqui, por ejemplo:

• en $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \ge \frac{4}{x+y},$$ la igualdad ocurre cuando $x=y$;
• en $$\left(x+y+z\right)\left(\frac1x+\frac1y+\frac1z\right)\ge 9,$$ la igualdad ocurre cuando $x=y=z$;
• en $$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a} \ge a+b+c,$$ la igualdad ocurre cuando $a=b=c$.

Buscar la igualdad te ayuda a comprobar si la herramienta elegida tiene sentido.

Como decidir si conviene usarla

Hazte estas preguntas:

1. Hay sumas de cuadrados o productos escalares.
2. Hay fracciones con numeradores cuadrados.
3. La expresion objetivo recuerda a un cuadrado de suma o a una suma simple.
4. Las variables son positivas o los denominadores estan controlados.

Ejercicios