Cuadrilatero ciclico

Tres maneras utiles de abrir este tema

La configuracion mas frecuente de circunferencias en geometria olimpica.

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La idea central

Cuatro puntos $A$ , $B$ , $C$ , $D$ forman un cuadrilatero ciclico cuando los cuatro estan sobre una misma circunferencia. Esa condicion convierte el problema de angulos en un problema de arcos, y los arcos tienen reglas muy simples.

Idea clave

Angulos opuestos suplementarios

En un cuadrilatero ciclico $ABCD$ ,

\angle A + \angle C = 180^\circ \qquad \text{y} \qquad \angle B + \angle D = 180^\circ

Idea clave

Angulo inscrito

Un angulo inscrito en una circunferencia mide la mitad del arco que subtiende.

Si $\angle BAC$ es un angulo inscrito que subtiende el arco $BC$ , entonces

\angle BAC = \tfrac{1}{2} \cdot \text{arco}(BC)

Como detectar que cuatro puntos son ciclicos

En olimpiadas no siempre te dicen que hay un cuadrilatero ciclico. Hay que detectarlo. Las tres senales mas utiles son:

Senal 1 — Angulos opuestos: si en un cuadrilatero $ABCD$ se cumple $\angle A + \angle C = 180^\circ$ , los cuatro puntos son ciclicos.

Senal 2 — Angulos iguales sobre la misma cuerda: si $\angle PAQ = \angle PBQ$ con $A$ y $B$ del mismo lado de la recta $PQ$ , entonces $P$ , $A$ , $Q$ , $B$ son ciclicos.

Senal 3 — Angulo recto: si $\angle APB = 90^\circ$ , entonces $P$ esta en la circunferencia de diametro $AB$ . Dos angulos rectos sobre la misma cuerda dan cuatro puntos ciclicos.

Ejemplo 1

El ortocentro $H$ de un triangulo $ABC$ cumple que $A$ , $E$ , $H$ , $F$ son ciclicos, donde $E$ y $F$ son pies de alturas.

Por que: $\angle AEH = 90^\circ$ y $\angle AFH = 90^\circ$ . Dos angulos opuestos rectos suman $180^\circ$ . Ciclicos por senal 1.

Angulos inscritos y el arco

Idea clave

Dos angulos inscritos sobre la misma cuerda

Si $P$ y $Q$ miran la cuerda $AB$ desde el mismo lado y estan en la circunferencia, entonces $\angle APB = \angle AQB$ .

Esta propiedad aparece todo el tiempo en problemas de persecucion angular. Si encuentras dos angulos iguales que miran el mismo segmento desde el mismo lado, ya tienes cuatro puntos ciclicos.

Ejemplo 2

En un triangulo $ABC$ , la bisectriz de $\angle A$ corta a $BC$ en $D$ y a la circunferencia circunscrita en $M$ . Entonces $MB = MC = MD$ .

Por que: como $AM$ biseca $\angle A$ , los arcos $BM$ y $CM$ son iguales. Entonces $MB = MC$ (cuerdas de arcos iguales). Ademas, $\angle MBD = \angle MBC = \angle MAC$ (angulos inscritos sobre el arco $MC$ ) y el triangulo $MBD$ es isosceles, luego $MB = MD$ .

Teorema de Ptolomeo

Idea clave

Ptolomeo

En un cuadrilatero ciclico $ABCD$ con diagonales $AC$ y $BD$ :

AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC

La desigualdad $AC \cdot BD \leq AB \cdot CD + AD \cdot BC$ vale para cualquier cuadrilatero, con igualdad si y solo si es ciclico.

Ptolomeo convierte relaciones entre lados y diagonales en una ecuacion algebraica directa. Es util cuando el problema da longitudes y pide calcular una diagonal o un lado restante.

Ejemplo 3

En un cuadrilatero ciclico $ABCD$ con $AB = 3$ , $BC = 4$ , $CD = 5$ , $DA = 6$ y $AC = 7$ , calcula $BD$ .

Solucion: Por Ptolomeo, $AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC$ , entonces

7 \cdot BD = 3 \cdot 5 + 6 \cdot 4 = 15 + 24 = 39 \implies BD = \frac{39}{7}

Caso especial: angulo entre tangente y cuerda

Idea clave

Angulo tangente-cuerda

El angulo entre una tangente a la circunferencia en el punto $P$ y una cuerda $PQ$ es igual al angulo inscrito $\angle PRQ$ , donde $R$ es cualquier punto del arco opuesto a la cuerda $PQ$ .

Este resultado conecta con potencia de un punto y suele aparecer cuando hay una tangente en el problema.

Ejercicios

Ejercicio

Nivel 2/5

En un cuadrilatero ciclico $ABCD$ , se sabe que $\angle DAB = 110^\circ$ . Calcula $\angle BCD$ .

Ejercicio

Nivel 3/5

Sea $ABCD$ un cuadrilatero ciclico con $\angle ABD = 40^\circ$ y $\angle ACD = 40^\circ$ . Demuestra que $AD$ es diametro.

Ejercicio

Nivel 3/5

En un triangulo $ABC$ con ortocentro $H$ , demuestra que los cuatro puntos $B$ , $C$ , $H$ y el pie de la altura desde $A$ son ciclicos.

Ejercicio

Nivel 4/5

En un cuadrilatero ciclico $ABCD$ , las diagonales se cortan en $P$ . Demuestra que los triangulos $ABP$ y $CDP$ son semejantes.

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