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Teoria de NumerosIntermedioTeoriaTecnicasProblemas

Congruencias

Introduccion a la aritmetica modular para comparar residuos y simplificar calculos en teoria de numeros.

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Brujula de estudio

Tres maneras utiles de abrir este tema

Pensar modulo n cambia la forma de ver ecuaciones y divisibilidad.

Entrada~10 min

Ubicate sin abrir todo

Sirve cuando vienes con poco tiempo o solo quieres recordar la idea dominante antes de pasar a otra lectura.

Revisar base minimaIrVer mapa del temaIrAbrir lectura principalIr
Principal~5 min

Haz una vuelta completa

Lectura base, un recurso central y una practica corta suelen bastar para que el tema ya empiece a quedarse.

Leer con calmaIrCerrar con errores claveIr
Cierre~10 min

Comprueba si ya te sirve

Util antes de clase, despues de entrenar o cuando quieras confirmar que no te llevas una confusion escondida.

Mirar errores frecuentesIrElegir siguiente pasoIr

Ruta sugerida

Como conviene estudiar este tema

No hace falta abrir todo. Empieza por la lectura base, usa un recurso principal para mover la idea y deja lo complementario para cuando de verdad te aporte.

Paso 1Base

Empieza por la lectura base

Aqui construyes el mapa del tema: como reconocer la estructura, que tecnica conviene y donde suelen aparecer los errores.

Antes de abrir este tema

Si alguno de estos temas te falta, te conviene repasarlo primero para que la lectura fluya mejor.

TNDivisibilidad

Lectura principal

Teoria y desarrollo

Recorrido sugerido

Si te pierdes, usa este mapa

No hace falta leer todo de un tiron. Puedes avanzar por bloques: entender la idea, fijar algunas reglas, comprobar si las distingues bien y luego practicar.

1Lectura

Idea central

2Lectura

Operaciones permitidas

Idea central

Definicion

Congruencia modulo n

Decimos que

a≡b(modn)a \equiv b \pmod n

si nn divide a a−ba-b.

Esto significa que aa y bb dejan el mismo residuo al dividir entre nn.

Ejemplo 1

17≡5(mod12)17 \equiv 5 \pmod{12}

porque 17−5=1217-5=12 es multiplo de 1212.

Operaciones permitidas

Si a≡b(modn)a \equiv b \pmod n y c≡d(modn)c \equiv d \pmod n, entonces:

  • a+c≡b+d(modn)a+c \equiv b+d \pmod n,
  • ac≡bd(modn)ac \equiv bd \pmod n.

Ejemplo 2

Para hallar el residuo de 38238^2 modulo 77, notamos que

38≡3(mod7)38 \equiv 3 \pmod 7

entonces

382≡32≡2(mod7)38^2 \equiv 3^2 \equiv 2 \pmod 7
Tip:

La aritmetica modular sirve para reducir numeros grandes a residuos pequenos antes de calcular.

Ejercicio

Nivel 2/5

Encuentra el residuo de 2102^{10} modulo 77.

Ejercicio

Nivel 3/5

Demuestra que si a≡b(modn)a \equiv b \pmod n, entonces ak≡bk(modn)a^k \equiv b^k \pmod n para todo entero positivo kk.

Errores que conviene vigilar

  • Cancelar terminos sin revisar si son invertibles modulo n.
  • Confundir igualdad usual con congruencia.

Si quieres seguir leyendo

Estos temas encajan bien como siguiente paso natural despues de este tema.

TNNumeros primos