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Divisibilidad

Fundamentos de divisibilidad: definición, criterios, MCD, MCM y propiedades esenciales para olimpiadas.

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Brujula de estudio

Tres maneras utiles de abrir este tema

Domina los conceptos de divisores, múltiplos, MCD y MCM.

Entrada~10 min

Ubicate sin abrir todo

Sirve cuando vienes con poco tiempo o solo quieres recordar la idea dominante antes de pasar a otra lectura.

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Lectura base, un recurso central y una practica corta suelen bastar para que el tema ya empiece a quedarse.

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Comprueba si ya te sirve

Util antes de clase, despues de entrenar o cuando quieras confirmar que no te llevas una confusion escondida.

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Ruta sugerida

Como conviene estudiar este tema

No hace falta abrir todo. Empieza por la lectura base, usa un recurso principal para mover la idea y deja lo complementario para cuando de verdad te aporte.

Paso 1Base

Empieza por la lectura base

Aqui construyes el mapa del tema: como reconocer la estructura, que tecnica conviene y donde suelen aparecer los errores.

Paso 2Practica

Practica una tecnica cada vez

En esta parte ya no conviene seguir leyendo sin actuar: intenta ejercicios con pistas y comprueba si el metodo realmente te sale.

Lectura principal

Teoria y desarrollo

Recorrido sugerido

Si te pierdes, usa este mapa

No hace falta leer todo de un tiron. Puedes avanzar por bloques: entender la idea, fijar algunas reglas, comprobar si las distingues bien y luego practicar.

1Lectura

¿Qué aprenderás?

2Lectura

Definición

3Lectura

Criterios de divisibilidad

4Lectura

Máximo Común Divisor (MCD)

5Lectura

Mínimo Común Múltiplo (MCM)

6Lectura

Propiedades importantes para olimpiadas

7Practica

Ejercicios

¿Qué aprenderás?

  • La definición precisa de divisibilidad y su notación.
  • Criterios de divisibilidad para los números 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11.
  • Cómo calcular el Máximo Común Divisor (MCD) usando el algoritmo de Euclides.
  • Cómo calcular el Mínimo Común Múltiplo (MCM).
  • Propiedades clave para problemas olímpicos.

Definición

Definicion

Divisibilidad

Decimos que el entero aa divide al entero bb, y escribimos a∣ba \mid b, si existe un entero kk tal que:

b=k⋅ab = k \cdot a

En ese caso, aa es un divisor de bb, y bb es un múltiplo de aa.

Si aa no divide a bb, escribimos a∤ba \nmid b.

Ejemplo 1

  • 3∣123 \mid 12 porque 12=4⋅312 = 4 \cdot 3. ✓
  • 7∣497 \mid 49 porque 49=7⋅749 = 7 \cdot 7. ✓
  • 5∤135 \nmid 13 porque no existe entero kk con 13=5k13 = 5k. ✗
Nota:

Por convención, todo entero divide a 00 (porque 0=0⋅a0 = 0 \cdot a), y 11 divide a todo entero.

Criterios de divisibilidad

| Divisor | Criterio | |---------|----------| | 2 | El último dígito es par (0, 2, 4, 6, 8). | | 3 | La suma de dígitos es divisible por 3. | | 4 | Los dos últimos dígitos forman un número divisible por 4. | | 5 | El último dígito es 0 o 5. | | 6 | Es divisible por 2 y por 3 simultáneamente. | | 8 | Los tres últimos dígitos forman un número divisible por 8. | | 9 | La suma de dígitos es divisible por 9. | | 10 | El último dígito es 0. | | 11 | La suma alternada de dígitos es divisible por 11. |

Ejemplo 2

¿Es 7 3927\,392 divisible por 3?

Sumamos dígitos: 7+3+9+2=217 + 3 + 9 + 2 = 21. Como 3∣213 \mid 21, entonces 3∣73923 \mid 7392. ✓

¿Es 7 3927\,392 divisible por 11?

Suma alternada: 7−3+9−2=117 - 3 + 9 - 2 = 11. Como 11∣1111 \mid 11, entonces 11∣739211 \mid 7392. ✓

Máximo Común Divisor (MCD)

Definicion

Máximo Común Divisor

El MCD de dos enteros aa y bb (no ambos cero) es el mayor entero positivo que divide a ambos:

gcd⁡(a,b)=max⁡{d∈Z+:d∣a y d∣b}\gcd(a, b) = \max\{d \in \mathbb{Z}^+ : d \mid a \text{ y } d \mid b\}

Algoritmo de Euclides

El método más eficiente. Se basa en la propiedad:

gcd⁡(a,b)=gcd⁡(b,a mod b)\gcd(a, b) = \gcd(b, a \bmod b)

Se aplica repetidamente hasta que el residuo sea 0.

Ejemplo 3

Calcular gcd⁡(252,105)\gcd(252, 105).

252=2⋅105+42  ⟹  gcd⁡(252,105)=gcd⁡(105,42)252 = 2 \cdot 105 + 42 \implies \gcd(252, 105) = \gcd(105, 42) 105=2⋅42+21  ⟹  gcd⁡(105,42)=gcd⁡(42,21)105 = 2 \cdot 42 + 21 \implies \gcd(105, 42) = \gcd(42, 21) 42=2⋅21+0  ⟹  gcd⁡(42,21)=2142 = 2 \cdot 21 + 0 \implies \gcd(42, 21) = 21

Por lo tanto, gcd⁡(252,105)=21\gcd(252, 105) = 21.

Mínimo Común Múltiplo (MCM)

Definicion

Mínimo Común Múltiplo

El MCM de dos enteros positivos aa y bb es el menor entero positivo divisible por ambos.

Existe una relación fundamental entre MCD y MCM:

mcm(a,b)=a⋅bgcd⁡(a,b)\text{mcm}(a, b) = \frac{a \cdot b}{\gcd(a, b)}

Ejemplo 4

Calcular mcm(252,105)\text{mcm}(252, 105).

Ya sabemos que gcd⁡(252,105)=21\gcd(252, 105) = 21, entonces:

mcm(252,105)=252⋅10521=2646021=1260\text{mcm}(252, 105) = \frac{252 \cdot 105}{21} = \frac{26460}{21} = 1260

Propiedades importantes para olimpiadas

Idea clave

Lema de Euclides

Si pp es primo y p∣abp \mid ab, entonces p∣ap \mid a o p∣bp \mid b.

Idea clave

Coprimalidad y divisibilidad

Si gcd⁡(a,b)=1\gcd(a, b) = 1 y a∣bca \mid bc, entonces a∣ca \mid c.

Tip:

En olimpiadas es muy frecuente el argumento: "como gcd⁡(a,b)=1\gcd(a, b) = 1 y a∣b⋅ca \mid b \cdot c, entonces a∣ca \mid c". Memoriza este patrón.

Ejercicios

Ejercicio

Nivel 1/5

Encuentra todos los divisores positivos de 360360.

Ejercicio

Nivel 2/5

Demuestra que para cualquier entero nn, se cumple gcd⁡(n,n+1)=1\gcd(n, n+1) = 1.

Ejercicio

Nivel 3/5

Si gcd⁡(a,b)=12\gcd(a, b) = 12 y mcm(a,b)=180\text{mcm}(a, b) = 180, ¿cuáles son los posibles valores de aa y bb?

Errores que conviene vigilar

  • Confundir 'a divide a b' con 'a es divisible por b'. Si a | b entonces b = ka, no al revés.
  • Olvidar que el MCD(a, b) * MCM(a, b) = a * b solo cuando se trabaja con exactamente dos números.
  • Asumir que si a | bc entonces a | b o a | c. Esto solo es cierto si mcd(a, b) = 1.

Si quieres seguir leyendo

Estos temas encajan bien como siguiente paso natural despues de este tema.

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