Equidistancia a los lados
El incentro esta a la misma distancia perpendicular de los tres lados del triangulo. Esa distancia es el inradio .
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Puede contener errores teóricos, ejemplos incompletos o explicaciones que todavía estamos puliendo. Úsala como referencia inicial, pero verifica los resultados importantes con tu profesor o con fuentes adicionales.
1. Lineas notables del triangulo2. Incentro
Lineas notables
Incentro
El punto donde las bisectrices de los angulos se cortan es equidistante de los tres lados. Esa distancia comun es el radio del circulo inscrito.
Familia
Bisectrices
Propiedades
4
Demostraciones
2
Como mirar este nodo
Cuando veas bisectrices, tangencias a los lados o la expresion "distancia a una recta", el incentro y el incirculo suelen ser la clave.
Figura base
Diagrama para leer antes que calcular
Por ahora este primer bloque entra con diagramas propios y navegacion viva. La siguiente capa natural sera volverlo manipulable.
bisectricesincentro Iincirculo
Que conviene notar
- es equidistante de los tres lados: la distancia perpendicular de a cada lado es el inradio .
- El incentro siempre esta dentro del triangulo, sin excepcion.
- El inradio satisface , donde es el semiperim etro.
- Los tres puntos de tangencia del incirculo con los lados dividen las longitudes de forma que los segmentos desde cada vertice son iguales.
Lectura central
Que esta pasando en esta configuracion
La idea no es coleccionar nombres. Lo importante es entender que tipo de fuerza geometrica aparece cuando esta figura entra al problema.
El incentro es la interseccion de las tres bisectrices de los angulos internos de un triangulo. Como cada bisectriz es el lugar geometrico de puntos equidistantes a los dos lados que la originan, el incentro queda a la misma distancia de los tres lados.
Esa distancia comun se llama inradio , y el circulo de radio centrado en es el incirculo: toca los tres lados del triangulo en exactamente un punto cada uno.
Propiedades
Hechos que conviene tener listos
Estas son las lecturas que deberian encenderse apenas reconoces la configuracion.
Formula del inradio
Si es el semiperimetro y es el area del triangulo, entonces . Combinando con (formula de Heron) se puede calcular solo con los lados.
Tangencias desde cada vertice
Si el incirculo toca , , en , , respectivamente, entonces , y . Los segmentos tangentes desde un mismo vertice son iguales.
Siempre interior
El incentro, al depender de bisectrices internas, siempre queda estrictamente dentro del triangulo. A diferencia del ortocentro y el circuncentro, nunca se sale ni cae sobre un lado.
Demostraciones
Por que estas propiedades son razonables
Cada prueba esta pensada como escalera corta: primero el gesto visual, luego la cadena de ideas.
Demostracion guiada
Las tres bisectrices concurren en I
Demostrar que las bisectrices de los tres angulos interiores pasan todas por un mismo punto.
- 1Sea la interseccion de las bisectrices de y . Como esta en la bisectriz de , esta equidistante de y .
- 2Como esta en la bisectriz de , esta equidistante de y .
- 3Juntando: esta a igual distancia de y , luego esta en la bisectriz de .
- 4Las tres bisectrices concurren en .
Demostracion guiada
Formula del inradio
Deducir que usando los tres triangulos que forman las cevianas desde .
- 1Traza segmentos de a cada vertice: se forman tres triangulos , , .
- 2La altura de cada uno de estos triangulos desde hasta el lado correspondiente es exactamente (el inradio, la distancia de al lado).
- 3El area de , la de , la de .
- 4Sumando: .
- 5Despejando: .
Ejemplos
Como empieza a usarse en problemas
No son ejercicios largos. Son escenas cortas para que la configuracion empiece a sentirse util y no solo bonita.
Ejemplo guiado
Calcular el inradio de un triangulo 3-4-5
En un triangulo rectangulo con catetos y y hipotenusa , calcula el inradio.
1. El area del triangulo es .
2. El semiperimetro es .
3. El inradio es .
Lo que conviene guardarse
En triangulos rectangulos el inradio tiene una formula especialmente limpia: donde es la hipotenusa.
Ejemplo guiado
Usar la propiedad de tangencias para calcular un lado
En un triangulo el incirculo toca en y en . Si y , encuentra .
1. Los segmentos tangentes desde son iguales: .
2. Llama y (segmentos tangentes desde y ).
3. Entonces .
4. y .
5. .
Lo que conviene guardarse
La propiedad de tangencias desde un vertice permite calcular sumas de lados sin trigonometria.
Ramas
Por donde se sigue desde aqui
La idea del atlas es esta: cada nodo te deja mejor parado para abrir el siguiente, no para volver a empezar desde cero.
Ramas disponibles
Este nodo cierra por ahora la rama viva actual.
Lo que sigue despues
Cuadrilatero tangencial
Si los cuatro lados de un cuadrilatero son tangentes a un mismo circulo, los lados opuestos suman igual.
Teorema de la bisectriz
La bisectriz de un angulo divide el lado opuesto en razon igual a los lados adyacentes.
Mismo racimo
Lineas notables del triangulo
Una forma ordenada de entrar a centros y configuraciones geometricas sin mirar el triangulo como si siempre empezara desde cero.
Circuncentro
El punto donde las mediatrices se cruzan es equidistante de los tres vertices. Ese radio comun es el radio de la circunferencia circunscrita.