Ecuaciones con parametro y discriminante

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Una entrada muy util al algebra con parametros.

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Idea central

En problemas con parametro, la pregunta rara vez es solo "resolver la ecuacion". Mas bien suele ser:

para que valores del parametro hay soluciones reales;
cuando aparece una raiz doble;
cuando las soluciones son enteras, positivas o distintas.

El discriminante es una herramienta muy buena, pero no es toda la historia.

El punto de partida

Si tienes

ax^2+bx+c=0,

entonces

\Delta = b^2-4ac.

Y recuerdas:

si $\Delta > 0$ , hay dos raices reales distintas;
si $\Delta = 0$ , hay una raiz real doble;
si $\Delta < 0$ , no hay raices reales.

Lista de control antes de usar $\Delta$

Antes de lanzarte a calcular, revisa:

la ecuacion esta realmente en forma estandar;
el coeficiente de $x^2$ no puede volverse cero;
el problema pide solo existencia de raices reales o tambien otras condiciones;
hay alguna factorizacion o estructura que haga innecesario usar el discriminante.

Ese control previo evita muchas cuentas inutiles.

Ejemplo basico con parametro

Ejemplo 1

Estudia para que valores de $m$ la ecuacion

x^2-2mx+m+3=0

tiene soluciones reales.

Calculamos:

\Delta = (-2m)^2 - 4(m+3)=4m^2-4m-12.

Entonces:

\Delta \ge 0 \iff m^2-m-3 \ge 0.

Las fronteras vienen de resolver

m^2-m-3=0,

cuyas soluciones son

m=\frac{1\pm \sqrt{13}}{2}.

Por tanto, hay soluciones reales si

m \le \frac{1-\sqrt{13}}{2} \quad \text{o} \quad m \ge \frac{1+\sqrt{13}}{2}.

Cuando el problema pide dos raices reales positivas

Aqui $\Delta$ ya no basta. Tambien necesitas controlar suma y producto.

Ejemplo 2

Estudia para que valores de $m$ la ecuacion

x^2-(m+3)x+2m=0

tiene dos raices reales positivas.

Llamemos $r_1,r_2$ a las raices. Por Vieta:

r_1+r_2=m+3, \qquad r_1r_2=2m.

Ademas,

\Delta = (m+3)^2-8m = m^2-2m+9 = (m-1)^2+8 > 0

para todo $m$ .

Entonces siempre hay dos raices reales distintas. Para que ambas sean positivas basta pedir:

r_1+r_2>0 \qquad \text{y} \qquad r_1r_2>0.

Eso equivale a

m+3>0 \qquad \text{y} \qquad 2m>0.

La segunda condicion da

m>0,

y eso ya fuerza tambien $m+3>0$ .

Por tanto, la ecuacion tiene dos raices reales positivas exactamente cuando

m>0.

Cuando el problema pide raiz doble

Ejemplo 3

Para que valor de $k$ la ecuacion

x^2+(k-4)x+4=0

tiene una raiz doble.

Pedimos:

\Delta = (k-4)^2 - 16 = 0.

Entonces:

(k-4)^2 = 16,

de donde

k-4=\pm 4.

Asi:

k=0 \quad \text{o} \quad k=8.

Lo que el discriminante no te regala

Que existan raices reales no significa automaticamente que cumplan otras condiciones.

Ejemplo 4

Estudia para que valores de $m$ la ecuacion

x^2-(m+1)x+m=0

tiene dos raices reales positivas.

Primero, factoriza:

x^2-(m+1)x+m = (x-1)(x-m).

Las raices son $1$ y $m$ .

Asi, tener dos raices reales positivas equivale simplemente a:

m>0.

Este ejemplo es importante porque muestra que a veces una mirada estructural gana por completo al uso mecanico del discriminante.

Caso especial: cuando ya no es cuadratica

Ejemplo 5

Estudia para que valores de $m$ la ecuacion

(m-1)x^2+3x+2=0

tiene soluciones reales.

m=1,

la ecuacion deja de ser cuadratica y se vuelve lineal:

3x+2=0,

que si tiene solucion real.

m\ne 1,

entonces si es cuadratica y usamos

\Delta = 3^2 - 4(m-1)\cdot 2 = 9-8m+8 = 17-8m.

Pedimos

17-8m \ge 0 \iff m \le \frac{17}{8}.

Al unir ambos casos, la ecuacion tiene al menos una solucion real exactamente cuando

m \le \frac{17}{8}.

Cuando el problema pide raices enteras

Para que una cuadratica tenga raices enteras no basta con que $\Delta \ge 0$ . Suele hacer falta que:

$\Delta$ sea un cuadrado perfecto;
y que suma y producto sean compatibles con enteros.

Ejemplo 6

Estudia para que valores de $k$ la ecuacion

x^2-kx+6=0

tiene dos raices enteras.

Si las raices enteras son $u$ y $v$ , entonces

u+v=k \qquad \text{y} \qquad uv=6.

Las parejas enteras cuyo producto es $6$ son

(1,6),\ (2,3),\ (-1,-6),\ (-2,-3).

Sus sumas son

7,\ 5,\ -7,\ -5.

Por tanto, los valores posibles de $k$ son

k\in\{-7,-5,5,7\}.

Aqui fue mas rapido usar Vieta que calcular y forzar un discriminante cuadrado.

Relacion con Vieta

En problemas un poco mas finos, combinas:

discriminante para existencia y tipo de raices;
Vieta para suma y producto;
y restricciones extra como positividad, integridad o acotacion.

Eso aparece muchisimo en olimpiadas y entrenamientos serios.

Una forma sana de pensar estos problemas

Muchas veces conviene separar la pregunta en capas:

la ecuacion existe como cuadratica;
tiene raices reales;
esas raices cumplen la condicion extra.

Resolver las tres capas por separado suele ser mas claro que intentar hacerlo todo en una sola cuenta.

Ejercicios

Ejercicio

Nivel 3/5

Estudia para que valores de $a$ la ecuacion

x^2-ax+a=0

tiene soluciones reales.

Ejercicio

Nivel 4/5

Para que valores de $t$ la ecuacion

x^2+(t-2)x+t=0

tiene una raiz doble.

Ejercicio

Nivel 4/5

Estudia para que valores de $m$ la ecuacion

x^2-(m+2)x+2m=0

tiene dos raices reales positivas.

Ejercicio

Nivel 4/5

Explica por que en

(k+3)x^2-2x+1=0

el caso $k=-3$ debe separarse antes de aplicar cualquier criterio cuadratico.

Ejercicio

Nivel 5/5

Estudia para que valores de $m$ la ecuacion

(m-2)x^2+(m+1)x+1=0

tiene soluciones reales.

Ejercicio

Nivel 5/5

Encuentra todos los valores enteros de $k$ para los cuales la ecuacion

x^2-kx+12=0

tiene dos raices enteras.

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Cuando el problema pide dos raices reales positivas

Cuando el problema pide raiz doble

Lo que el discriminante no te regala

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Cuando el problema pide raices enteras

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El punto de partida

Lista de control antes de usar Δ\DeltaΔ

Ejemplo basico con parametro

Cuando el problema pide dos raices reales positivas

Cuando el problema pide raiz doble

Lo que el discriminante no te regala

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Cuando el problema pide raices enteras

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